Question

如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形是邊長為1的正方形,平面,平面ABCD, 

(Ⅰ)求證:A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面；

(Ⅱ)求證:平面

(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函數(shù)值表示).

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題的能力．

解法1（向量法）：

以為原點(diǎn)，以所在直線分別為

軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則有．

（Ⅰ）證明：．

．

與平行，與平行，

于是與共面，與共面．

（Ⅱ）證明：，，

，．

與是平面內(nèi)的兩條相交直線．

平面．

又平面過．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

設(shè)為平面的法向量，

，．

于是，取，則，．

設(shè)為平面的法向量，

，．

于是，取，則，．

．

二面角的大小為．

解法2（綜合法）：

（Ⅰ）證明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

設(shè)分別為的中點(diǎn)，連結(jié)，

有．

，

于是．

由，得，

故，與共面．

過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，

則，連結(jié)，

于是，，．

，．

，．

所以點(diǎn)在上，故與共面．

（Ⅱ）證明：平面，，

又（正方形的對(duì)角線互相垂直），

與是平面內(nèi)的兩條相交直線，

平面．

又平面過，平面平面．

（Ⅲ）解：直線是直線在平面上的射影，，

根據(jù)三垂線定理，有．

過點(diǎn)在平面內(nèi)作于，連結(jié)，

則平面，

于是，

所以，是二面角的一個(gè)平面角．

根據(jù)勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小為．