Question

如圖，平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，AC＝2，BC＝AA'＝A'C＝2，∠ABC＝90°，點(diǎn)O是點(diǎn)A'在底面ABCD上的射影，且點(diǎn)O恰好落在AC上.

（1）求側(cè)棱AA'與底面ABCD所成角的大�。�

（2）求側(cè)面A'ADD'底面ABCD所成二面角的正切值；

（3）求四棱錐C－A'ADD'的體積.

Answer 1

（1）45°（2）（3）

解析:

（I）連，則平面于                          ……1分（文1分）

∴就是側(cè)棱與底面所成的角                  ……1分（文2分）

                             

在中，

 

∴是等腰直角三角形                                                     

∴，即側(cè)棱與底面所成角為45°，

   （II）在等腰中，，∴，且O為AC中點(diǎn)，

過(guò)O作于E，連�！�平面ABCD于O，

由三垂線定理，知，                                                

∴∠是側(cè)面與底面ABCD所成二面角的平面角。

∵∠ABC=，，∴底面ABCD是正方形。

∴。

在中，。

即所求二面角的正切值為。                                                 

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，。

∴。                                                 

∵，∴。

∵，∴平面，它們的交線是。

過(guò)O作，則。

。                                           

又∵的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C到平面的距離。

∴。