Question

【題目】如圖，正方體的棱長為2，P是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱上的動點(diǎn)．

（1）點(diǎn)Q在何位置時，直線，DC，AP交于一點(diǎn)，并說明理由；

（2）求三棱錐的體積；

（3）棱上是否存在動點(diǎn)Q，使得與平面所成角的正弦值為，若存在指出點(diǎn)Q在棱上的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)Q是中點(diǎn)時，直線，DC，AP交于一點(diǎn)，理由詳見解析；（2）；（3）存在點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為的中點(diǎn).

【解析】

(1)畫出輔助線延長AP交DC于M,連結(jié)交于點(diǎn)Q,利用相似三角形證明即可.

(2)換頂點(diǎn)求解三棱錐的體積即可.

(3)以D為原點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),再利用線面夾角的向量解法求出即可.

解：（1）當(dāng)Q是中點(diǎn)時,直線,DC,AP交于一點(diǎn)．

理由如下：延長AP交DC于M,連結(jié)交于點(diǎn)Q,

∵,∴,

∴．

∵,

∴,∴．

∴Q是中點(diǎn)．

（2）V棱錐棱錐．

（3）以D為原點(diǎn),DA,DC,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建系

則,,,,

,,

設(shè)面的法向量為,則

取,,即

設(shè)與面所成角為

則

化簡得

解得或（舍去）

所以存在點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q為的中點(diǎn)