Question

設(shè)函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)，.
（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）討論與的大小關(guān)系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g（x）﹣g（x₀）|＜對(duì)任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），最小值為；（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，；當(dāng)x＞1時(shí)，；（3）滿足條件的x₀不存在．證明詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）由題設(shè)得，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可確定g（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出其最小值；（2）為了確定與的大小關(guān)系，便作差判斷其符號(hào).設(shè)，則，因此在內(nèi)單調(diào)遞減.接下來(lái)就確定函數(shù)的零點(diǎn).易知h（1）=0，即；所以當(dāng)0＜x＜1，時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即，當(dāng)x＞1，時(shí)，h（x）＜h（1）=0，即；（3）根據(jù)（1）題的結(jié)果可作出的大致圖象；再作出的圖象，結(jié)合圖象可看出，不論取多少，當(dāng)的值充分大時(shí)，必有，所以滿足條件的x₀不存在．接下來(lái)就是想方設(shè)法找出一個(gè)，使得.為了更容易地找出這樣的，我們將變形為，對(duì)左邊的不等式，易看出當(dāng)時(shí)便不成立.從而問(wèn)題得證.
試題解析：（1）由題設(shè)易知，
∴，令，得，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），
因此是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，
∴最小值為；
（2），
設(shè)，
則，
當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=0，即，
當(dāng)x∈（0，1）∪（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h′（1）=0，
因此，h（x）在內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1，時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即，
當(dāng)x＞1，時(shí)，h（x）＜h（1）=0，即，
（3）滿足條件的x₀不存在．證明如下：假設(shè)存在x₀＞0，
使成立，即對(duì)任意x＞0，
有，（*）
但對(duì)上述x₀，取時(shí)，
有，這與（*）左邊不等式矛盾，
因此，不存在x₀＞0，使成立．