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          已知a，b，c均為正數(shù)
          （1）證明：a2+b2+c2+（
          1
          a
          +
          1
          b
          +
          1
          c
          ）2≥6
          		3
          ，并確定a，b，c如何取值時等號成立；
          （2）若a+b+c=1，求
          		3a+1
          +
          		3b+1
          +
          		3c+1
          的最大值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          考點(diǎn)：一般形式的柯西不等式,不等式的證明
          
                
          專題：選作題,不等式的解法及應(yīng)用
          
                
          分析：（1）利用基本不等式可以證明結(jié)論；
          （2）利用柯西不等式可求
          		3a+1
          +
          		3b+1
          +
          		3c+1
          的最大值．
          
                
          解答：
                （1）證明：a2+b2+c2+（
          1
          a
          +
          1
          b
          +
          1
          c
          ）2≥3(abc)
          2
          3
          +9(abc)-
          2
          3
          ≥6
          		3

          取等條件a=b=c=
          43
          ；
          （2）解：（
          		3a+1
          +
          		3b+1
          +
          		3c+1
          ）2≤（1+1+1）[（
          		3a+1
          ）2+（
          		3b+1
          ）2+（
          		3c+1
          ）]2=18
          所以
          		3a+1
          +
          		3b+1
          +
          		3c+1
          的最大值為3
          		2
          ，取等條件a=b=c=
          1
          3
          ．
                
          
                
          點(diǎn)評：本題主要考查了柯西不等式的內(nèi)容與形式，掌握根據(jù)柯西不等式的內(nèi)容是關(guān)鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）=ex-x-1，g（x）=x2eax．
          （Ⅰ）求f（x）的最小值；
          （Ⅱ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
          （Ⅲ）當(dāng)a=1時，對于在（0，1）中的任一個常數(shù)m，是否存在正數(shù)x0使得f（x0）＞
          m
          2
          g（x）成立？如果存在，求出符合條件的一個x0；否則請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          函數(shù)f（x）=aex+b，g（x）=ax2-2x-2（其中a，b∈R，a≠0），設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）．
          （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程為y=x+1，解關(guān)于x的不等式F（x）＞0；
          （Ⅱ）當(dāng)a＞0，b=0時，求函數(shù)F（cos2x）的最小值；
          （Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在區(qū)間[m，n]（m＞2），使得函數(shù)F（x）在[m，n]上的值域是[
          m
          2
          ，
          n
          2
          ]？試著說明你的理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的兩個頂點(diǎn)為O（0，0），A（1，1），且
          OA
          •
          OC
          =1，則
          AB
          •
          AC
          等于
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （Ⅰ）△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B＜
          π
          2
          ；（提示：可以利用反證法證明）
          （Ⅱ）設(shè)x＞0，y＞0，求證：（x2+y2） 
          1
          2
          ＞（x3+y3） 
          1
          3
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          若向量
          a
          ，
          b
          是單位向量，則向量
          a
          -
          b
          在
          a
          +
          b
          方向上的投影是
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知正△ABC的邊長為3，P1是邊AB上的一點(diǎn)且BP1=1，從P1向BC作垂線，垂足為Q1，從Q1向CA作垂線，垂足為R1，從R1向AB作垂線，垂足為P2．再從P2重復(fù)同樣作法，依次得到點(diǎn)Q2，R2，P3，Q3，R3，…Pn，Qn，Rn，…，設(shè)BPn=an（n=1，2，3，…）．
          （Ⅰ）求an+1與an關(guān)系式；
          （Ⅱ）求數(shù)列{nan}前n項(xiàng)和Sn．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知O，A，B是平面上三個不同點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|
          PA
          |=|
          PB
          |，且|
          OA
          |=3，|
          OB
          |=1，則
          OP
          •（
          OA
          -
          OB
          ）的值為
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，f（x）=
          x，0≤x≤1
          (
          1
          2
          )x-1，-1≤x＜0
          對于任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1）．若在區(qū)間[-1，3]上函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m恰有四個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
           
          ．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案