Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)，).

（1）當(dāng)時(shí)，若曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，求直線的斜率；

（2）在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)方程為的直線與曲線相交于兩點(diǎn),若，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）將參數(shù)方程消去參數(shù)得到曲線的普通方程為，由曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱可得，求得，于是得．（2）將曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)可得，根據(jù)圓的弦長公式可得，即為所求．

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，

消去參數(shù)得，

∴圓心的坐標(biāo)為．

∵曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，

∴，

又，

∴直線的斜率．

（2）由 (為參數(shù)，)消去參數(shù)得曲線的普通方程為，

∴圓心的坐標(biāo)為，半徑為．

又直線的極坐標(biāo)方程可化為，

故其直角坐標(biāo)方程為，

又，

∴，

解得．

∴實(shí)數(shù)的值為．