Question

（2012•珠海二模）如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁=4，AB=BC=3．
（1）若E、F分別是BC₁、A₁C₁中點，求證：EF∥平面DCC₁；
（2）求二面角A₁-BC₁-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）連接D₁B₁，B₁C，利用長方體的性質(zhì)可得E、F分別是B₁D₁和B₁C的中點，再利用三角形的中位線定理可得EF∥D₁C．利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（Ⅰ）證明：連接D₁B₁，B₁C，則長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁∩B₁C=E，D₁B₁∩A₁C₁=F，
∴E、F分別是B₁D₁和B₁C的中點
∴EF∥D₁C．又EF?平面DCC₁；D₁C?平面DCC₁；
∴EF∥平面DCC₁；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（3，3，0），C₁（0，3，4），A₁（3，0，4）．
∴

BC1

=（-3，0，4），

DB

=（3，3，0），

A1C1

=（-3，3，0）．
設(shè)平面DBC₁的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，則

n1 • DB =3x1+3y1=0 n1 • BC1 =-3x1+4z1=0

，取x₁=4，解得y₁=-4，z₁=3，∴

n1

=（4，-4，3）；
設(shè)平面A₁BC₁的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

n2 • BC1 =-3x2+4z2=0 n2 • A1C1 =-3x2+3y2=0

，取x₂=4，解得y₂=4，z₂=3，∴

n2

=（4，4，3）；
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

9

41

，
設(shè)二面角A₁-BC₁-D的大小為θ，則sinθ=

1-( 9 41 )2

=

40

41

．
即二面角A₁-BC₁-D的正弦值為

40

41

．

點評：本題綜合考查了長方體的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過距離空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．