Question

【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)討論的單調(diào)性；

(Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析; (Ⅱ)詳見解析

【解析】

試題解析：(Ⅰ)由題可知，然后再，分，，三種情況，進(jìn)行討論，由此即可求出結(jié)果.(Ⅱ)化簡可得，可得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，與軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故.當(dāng)時(shí)，令，則；令，則.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，且，要證，需證，即證，又，所以只需證.即證：當(dāng)時(shí)， .然后再構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)，即可證明結(jié)果.

試題解析：解：(1)由題可知，

①當(dāng)時(shí)，令，則∴

令，則∴

②當(dāng)時(shí)，

③當(dāng)時(shí)，令，則∴

令，則∴

綜上：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)②

時(shí)，在上單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)∵

∴，當(dāng)時(shí)，，在

上單調(diào)遞增，與軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故.

當(dāng)時(shí)，令，則；令，則.故在上

單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，且，要證

，

需證，即證，

又，所以只需證.即證：當(dāng)時(shí)，

.

設(shè)

則，∴在上

單調(diào)遞減，又，故.