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        1. 【題目】已知f(x)=lnx﹣x+a+1
          (1)若存在 x∈(0,+∞)使得f(x)≥0成立,求a的范圍;
          (2)求證:當x>1時,在(1)的條件下, 成立.

          【答案】
          (1)解:∵f(x)=lnx﹣x+a+1(x>0),

          ∴f′(x)=

          ∴函數(shù)在(0,1)上,f′(x)>0,在(1,+∞)上,f′(x)<0,

          ∴函數(shù)在x=1處取得最大值f(1)=a,

          ∵存在 x∈(0,+∞)使得f(x)≥0成立,

          ∴a≥0;


          (2)證明:令g(x)= ,

          則g′(x)=x+a﹣lnx﹣1,

          ∵f(x)=lnx﹣x+a+1≤f(1)=a,

          ∴x﹣lnx﹣1≥0,

          ∴g′(x)≥0

          ∵x>1,

          ∴g(x)>g(1)=0,

          成立.


          【解析】(1)求導數(shù),確定函數(shù)在x=1處取得最大值f(1)=a,即可求a的范圍;(2)令g(x)= ,證明g′(x)≥0,即可證明.

          練習冊系列答案
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