Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（Ⅲ）若，使（）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是.；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（1）先求，解不等式并和定義域求交集，得的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式并和定義域求交集，得的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）等價(jià)于在時(shí)恒成立，即，故，得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）由特稱量詞的含義知，在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)獨(dú)立變量，使得已知不等式成立，等價(jià)于的最小值小于等于的最大值，分別求兩個(gè)函數(shù)的最小值和最大值，建立實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而求的范圍.
試題解析：由已知函數(shù)的定義域均為,且.
（Ⅰ）函數(shù)，當(dāng)且時(shí),;當(dāng)時(shí),.
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是,增區(qū)間是.
（Ⅱ）因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立．
所以當(dāng)時(shí)，．又，故當(dāng)，即時(shí)，．所以于是，故a的最小值為．
（Ⅲ）命題“若使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，
有”．
由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，，． 問(wèn)題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”．
當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ），在上為減函數(shù)，則=，故．
當(dāng)0<時(shí)，由于在上為增函數(shù)，故的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031626783615.png" style="vertical-align:middle;" />，即．由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以，=，．所以，，與矛盾，不合題意．綜上，得．