Question

已知函數(shù)．
（1）設(shè)（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；
（2）求證: 當(dāng)時(shí)，有；
（3）設(shè),當(dāng)時(shí),不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

(1) 取得最大值；（2）；
（3）整數(shù)的最大值是.

試題分析：（1）先求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求函數(shù)的最大值；
（2）當(dāng)時(shí)，有，再根據(jù)（1）中有則，所以；
（3）將不等式先轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240317018511058.png" style="vertical-align:middle;" />，結(jié)合（1）中的，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240317019291187.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以．故整數(shù)的最大值是.  
試題解析：(1）, 
所以 ．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值；
（2）當(dāng)時(shí)，．由（1）知：當(dāng)時(shí)，，即．
因此，有．
（3）不等式化為 
所以對(duì)任意恒成立．令，
則，令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240317026001175.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．
當(dāng)，即，當(dāng)，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以．故整數(shù)的最大值是.  ，通過放縮法證明不等式；3、恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為成立；4、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)，解決函數(shù)的綜合問題，要求學(xué)生有較高的邏輯思維能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng).