Question

若方程sinx+cosx=a在[0，2π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁、x₂，求a的取值范圍，并求x₁+x₂的值．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)函數(shù)y₁=sinx+cosx，y₂=a，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解答即可．
解答：解：設(shè)f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），x∈[0，2π]．
令x+=t，則f（t）=2sint，且t∈[]
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=2sint及y=a的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知
當(dāng)1＜a＜2和-2＜a＜1時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程sinx+cosx=a在[0，2π]上有兩不同的實(shí)數(shù)解．
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，t₁+t₂=π，
即x₁++x₂+=π，
∴x₁+x₂=；
當(dāng)-2＜a＜1時(shí)，t₁+t₂=3π，
即x₁++x₂+=3π，
∴x₁+x₂=．
綜上可得，a的取值范圍是（1，2）∪（-2，1）．
當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，x₁+x₂=；
當(dāng)a∈（-2，1）時(shí)，x₁+x₂=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了輔助角公式在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)中的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．