Question

已知關(guān)于x的方程sinx+cosx=a
（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）若方程x∈[0，π]時(shí)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的范圍及兩實(shí)數(shù)解的和．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差公式可得a=

2

sin（x+

π

4

），進(jìn)而由正弦函數(shù)的特點(diǎn)求出

2

sin（x+

π

4

）的值域即可知a的取值范圍；
（2）利用兩角和與差公式可得a=

2

sin（x+

π

4

），進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），x∈[0，π]有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，將圖象畫(huà)出即可得出答案．

解答：解：（1）∵sinx+cosx=a
∴a=

2

sin（x+

π

4

），
∴-

2

≤a≤

2

（2））∵sinx+cosx=a
∴a=

2

sin（x+

π

4

），
設(shè)y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），
由題意可知y₁=a y₂=sin（x+

π

4

），x∈[0，π]有兩個(gè)交點(diǎn)
如圖示知a∈[1，

2

]
設(shè)兩相異實(shí)根為x₁，x₂，由圖示⇒x₁+x₂=2×

π

4

=

π

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的值域以及兩角和與差公式，（2）問(wèn)將圖畫(huà)出是解題的關(guān)鍵．