Question

【題目】在直三棱柱中，、、、分別為中點(diǎn)，.

（1）求證：平面．

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明.

（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，再分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用面面角的向量公式

求解.

（1）證明：如圖所示：

取中點(diǎn)，連接，易知，

、分別為的中點(diǎn)，∴，

∴．

故四邊形為平行四邊形，∴，

∵平面，平面，

平面．

（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示：

則．

∴，

設(shè)平面的法向量為，

則，

即，取，得，

易知平面的一個(gè)法向量為，

∴，

∴二面角的余弦值為．