Question

【題目】如圖所示，已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積最小時(shí)l的方程．

Answer 1

【答案】

【解析】

假設(shè)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，設(shè)直線的截距式，將點(diǎn)P代入直線方程，求出a、b關(guān)系，根據(jù)三角形面積的公式，用a表示三角形面積，整理為關(guān)于a的二次方程，令，求得三角形面積的最小值，然后求出參數(shù)值，即可得出直線方程.

設(shè)A(a，0)，B(0，b)，顯然a>3，b>2，

則直線l的方程為＋＝1，

因?yàn)?/span>P(3，2)在直線l上，所以＋＝1，于是b＝，

所以S△AOB＝ab＝，整理得a2－S△AOB·a＋3S△AOB＝0(*)．

因?yàn)榇朔匠逃薪�，所�?/span>Δ＝S－12S△AOB≥0，

又因?yàn)?/span>S△AOB>0，所以S△AOB≥12，S△AOB最小值＝12．

將S△AOB＝12代入(*)式，得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4．

此時(shí)直線l的方程為＋＝1，即2x＋3y－12＝0．