Question

如圖，Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形ADEF，它的兩條邊AD，AF分別在直角邊AB，AC上．設BC=a，∠ABC=θ．
（1）求△ABC的面積P和正方形的面積Q；
（2）當θ變化時，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出正方形的變成為x，由BC=a，∠ABC=θ，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出直角邊AB和AC，即可求出直角三角形ABC的面積；在直角三角形BDE中，由DE=x，∠ABC=θ，根據(jù)銳角三角形函數(shù)定義表示出BD，根據(jù)BD+AD=AB列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，分子分母同時乘以tanθ，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡后，得到正方形的邊長，平方即可得到正方形的面積；
（2）將第一問表示出的P和Q代入，約分化簡后，根據(jù)θ的范圍，得到tanθ的范圍，設tanθ=t，進而得到t的范圍，設化簡后的式子為g（t），由t大于0，利用基本不等式求出t+的最小值及取最小值時t的值，即可得到g（t）的最小值，即為所求式子的最小值．
解答：解：（1）設正方邊的邊長為x，
則有AD=DE=x，BD=xcotθ，AB=acosθ，AC=asinθ，
∴，
則，（2分）；（6分）

（2），（9分）
設t=tanθ，∵，∴t∈（0，+∞），
令，
∵t+≥2，當且僅當t=，即t=1時取等號，
∴當t=1，即θ=時，g（t）有最小值，且最小值為2，（11分）
則最小值為2．（13分）
點評：此題考查了三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及基本不等式，第一問的思路是：設出正方形的邊長，利用銳角三角形函數(shù)定義，建立三角形的邊角關(guān)系，列出關(guān)于x的方程，求出正方形的邊長，進而表示出P和Q；第二問思路為：把表示出的P和Q代入所求式子中，變形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．