Question

如圖所示，在Rt△ABC內(nèi)有一內(nèi)接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，設(shè)AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面積f（θ）與正方形面積g（θ）；
（2）當θ變化時，求

f(θ)

g(θ)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方形邊長為x，求出BG=

x

sinθ

，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面積f（θ）與正方形面積g（θ）；
（2）利用（1）推出

f(θ)

g(θ)

的表達式，利用基本不等式，求出比值的最小值即可．

解答：解：（1）由題得：AC=atanθ
∴f（θ）=

1

2

a²tanθ（0＜θ＜

π

2

） 
設(shè)正方形的邊長為x，則BG=

x

sinθ

，由幾何關(guān)系知：∠AGD=θ
∴AG=xcosθ 由BG+AG=a⇒

x

sinθ

+xcosθ=a⇒x=

asinθ

1+sinθcosθ

∴g（θ）=

a2sin2θ

(1+sinθcosθ)2

（0＜θ＜

π

2

）
（2）

f(θ)

g(θ)

=

(1+sinθcoθ)2

2sinθcosθ

=1+

1

sin2θ

+

sin2θ

4

 令：t=sin2θ
∵0＜θ＜

π

2

∴t∈（0，1]∴y=1+

1

t

+

t

4

=1+

1

4

（t+

t

4

）∵函數(shù)y=1+

1

4

（t+

t

4

）在（0，1]遞減
∴y_min=

9

4

（當且僅當t=1即θ=

π

4

時成立）
∴當θ=

π

4

時，

f(θ)

g(θ)

的最小值為

9

4

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的基本關(guān)系式，基本不等式的應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．