Question

如圖，Rt△ABC在平面α內(nèi)，點(diǎn)P在平面α外，P到直角頂點(diǎn)A的距離為8，到兩條直角邊的距離均為，求：

(1)P到平面α的距離；

(2)PA與平面α所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

[解析](1)如題圖，過P作PO⊥α于點(diǎn)O，作OD⊥AB于點(diǎn)D，連結(jié)PD． 　　則PO⊥AB，于是AB⊥平面POD，從而AD⊥PD，故PD＝，進(jìn)而． 　　同理，作OE⊥AC于E點(diǎn)，則AE＝． 　　∴矩形ADOE為正方形． 　　∴． 　　∴，即P到平面α的距離為6． 　　(2)由(1)可知，∠PAO便是所求PA與平面α所成的角． 　　sin∠PAO＝． 　　[分析](1)要求P到平面α的距離，于是我們過P作PO⊥α于點(diǎn)O，利用勾股定理得到AD和AE的長(zhǎng)相等，從而知ADOE為正方形，易求得AO的長(zhǎng)，從而在Rt△PAO中利用勾股定理得到PO的長(zhǎng)度即為P到平面α的距離． 　　(2)容易證明∠PAO即為PA與平面α所成角，可在Rt△PAO中應(yīng)用勾股定理求得．