Question

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求的值；

（2）若，求的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，其中.若函數(shù)與的圖象有且只有一個交點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) （2） 或；(2)

【解析】試題分析：（1）由化簡可得恒成立，從而可求出的值； （2）先利用對數(shù)的運(yùn)算法則對不等式化簡，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式；（3）運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上只有一解，分兩種情況討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可.

試題解析：（1）是偶函數(shù)，

對任意，恒成立

恒成立，

恒成立

（2）若則

所以，所以

令則有即

解得或

所以或

所以或

（3）由于，所以定義域為，也就是滿足

函數(shù)與的圖象有且只有一個交點(diǎn)，

方程在上只有一解

即：方程在上只有一解，令，則，

因而等價于關(guān)于的方程 在上只有一解

①當(dāng)時，解得，不合題意；

當(dāng)時，記，其圖象的對稱軸

函數(shù)在上遞減，而方程在無解

②當(dāng)時，記，其圖象的對稱軸， ，所以，只需，

即，此恒成立此時的范圍為

綜上所述，所求的取值范圍為