Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，-2），點C滿足   、β∈R，且α-2β=1
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡與橢圓交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量等式，得點C的坐標，消去參數即得點C的軌跡方程；
（2）將直線與橢圓方程組成方程組，利用方程思想，求出x₁x₂+y₁y₂，再結合向量的垂直關系得到關于a，b的關系，化簡即得結論．
（3）由（2）得 從而 又橢圓的離心率不大于，得出 ．解得橢圓長軸長2a的取值范圍即可．
解答：解：（1）設
∴即點C的軌跡方程為x+y=1
（2）∴
設
由題意
∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+2x₁x₂
=
∴為定值
（3）∵，
∵，∴
∴，
∴
∴橢圓實軸長的取值范圍是
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．