Question

【題目】某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R（x）=3 700x+45x2﹣10x3（單位：萬元），成本函數(shù)為C（x）=460x+5 000（單位：萬元），又在經(jīng)濟學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）．
（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（提示：利潤=產(chǎn)值﹣成本）
（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？
（3）求邊際利潤函數(shù)MP（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么？

Answer 1

【答案】
（1）解：P（x）=R（x）﹣C（x）=﹣10x3+45x2+3240x﹣5000（x∈N*，且1≤x≤20）；

MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣30x2+60x+3275（x∈N*，且1≤x≤19）

（2）解：P′（x）=﹣30x2+90x+3240=﹣30（x﹣12）（x+9），

∵x＞0，∴P′（x）=0時，x=12，

∴當0＜x＜12時，

P′（x）＞0，當x＞12時，P′（x）＜0，

∴x=12時，P（x）有最大值．

即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大

（3）解：MP（x）=﹣30x2+60x+3275=﹣30（x﹣1）2+3305．

所以，當x≥1時，MP（x）單調(diào)遞減，

所以單調(diào)減區(qū)間為[1，19]，且x∈N*．

MP（x）是減函數(shù)的實際意義，隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤與前一艘利潤比較，利潤在減少

【解析】（1）根據(jù)利潤=產(chǎn)值﹣成本，及邊際函數(shù)Mf（x）定義得出利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（2）先對利潤函數(shù)P（x）求導(dǎo)數(shù)，P′（x）=﹣30x2+90x+3240=﹣30（x﹣12）（x+9），利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，從而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大．（3）根據(jù)MP（x）=﹣30x2+60x+3275=﹣30（x﹣1）2+3305．利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究它的單調(diào)性，最后得出單調(diào)遞減在本題中的實際意義單調(diào)遞減在本題中的實際意義即可．