Question

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù)，
（I）證明：；
（II）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由.

Answer 1

（I）詳見(jiàn)解析；（II）存在，.

試題分析：（I）對(duì)于含遞推式的處理，往往可轉(zhuǎn)換為關(guān)于項(xiàng)的遞推式或關(guān)于的遞推式．結(jié)合結(jié)論，該題需要轉(zhuǎn)換為項(xiàng)的遞推式．故由得．兩式相減得結(jié)論；（II）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先探求參數(shù)的值再證明．本題由，，，列方程得，從而求出．得，故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為4的等差數(shù)列．分別求通項(xiàng)公式，進(jìn)而求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再證明等差數(shù)列．
試題解析：（I）由題設(shè)，，．兩式相減得，．
由于，所以．
（II）由題設(shè)，，，可得，由（I）知，．令，解得．
故，由此可得，是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，；
是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，．
所以，．
因此存在，使得為等差數(shù)列．
【考點(diǎn)定位】1、遞推公式；2、數(shù)列的通項(xiàng)公式；3、等差數(shù)列．