Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，給出下面關(guān)于f（x）的命題：
①f（x）是偶函數(shù) 
 ②f（x）是奇函數(shù)  
③f（x）=f（x+2）
④f（x+3）是奇函數(shù)其中正確的命題序號(hào)是

④

．
（注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：首先由奇函數(shù)性質(zhì)求f（x）的周期以及對(duì)稱中心，然后利用所求結(jié)論來分別判斷四個(gè)命題即可．

解答：解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）及點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，①②錯(cuò)；
又因?yàn)椋汉瘮?shù)f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函數(shù)，所以③錯(cuò)；
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函數(shù)，④成立．
故只有④為真命題．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)中一些主條件的變形，來考查函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，方法往往是緊扣性質(zhì)的定義．