Question

【題目】已知二次函數f（x）的二次項系數為a（a＜0），且1和3是函數y=f（x）+2x的兩個零點．若方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】解：因為1，3是y=f（x）+2x的兩個零點，且a＜0，所以f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），
得f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①
所以f（x）+6a=ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②
又方程②有兩個相等的實根，
所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0，
解得a=1（舍去）或a= ．
將a= 代入①，得f（x）=
【解析】利用1，3是y=f（x）+2x的兩個零點，推出f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a，結合f（x）+6a═0，有兩個相等的實根，通過△=0求出a，得到函數的解析式．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．