Question

在直角梯形中，，，，如圖，把沿翻折，使得平面平面．

（1）求證：；
（2）若點為線段中點，求點到平面的距離；
（3）在線段上是否存在點，使得與平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)證明過程詳見解析;（2）  （3）存在

試題分析：
（1）據(jù)題意，要證明，由線面垂直的性質(zhì)例一得到只需要證明DC面ABD，又有面ABD與面BCD垂直，故根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，只需要證明DC垂直于面ABD與面BCD的交線BD,DC與BC垂直的證明可以放在直角梯形中利用勾股定理與余弦定理證明，三角形BCD為直角三角形.
（2）由（1）得平面，所以．以點為原點，所在的直線為軸，所在直線為軸，利用三維空間直角坐標(biāo)系即可求的點面距離，即首先求出線段MC與面ADC的法向量的夾角，再利用三角函數(shù)值即可求的點面距離.此外，該題還可以利用等體積法來求的點面距離，即三棱錐M-ADC的體積，分別以M點為頂點和以A點為定點來求解三棱錐的體積，解出高即為點面距離.
（3）該問利用坐標(biāo)法最為簡潔，在第二問建立的坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，設(shè),，利用來表示N點的坐標(biāo)，求出面ACD的法向量，法向量與AN所成的夾角即為與平面所成角為的余角，利用該條件即可求出的值，進(jìn)而得到N點的位置.
試題解析：
（1）證明：因為，
，，所以，，                      1分
，  2分
 ，所以        3分．
因為平面平面,平面平面，
所以平面                      4分．
又平面，所以          5分．

（2）解法1：因為平面，所以．以點為原點，所在的直線為軸，所在直線為軸,過點作垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由已知，得，，，，．所以，，．  7分．設(shè)平面的法向量為，則，，所以令，得平面的一個法向量為   9分
所以點到平面的距離為         10分．
解法2：由已知條件可得，，所以．
由（1）知平面，即為三棱錐的高，
又，所以          7分．
由平面得到，設(shè)點到平面的距離為，
則                8分．
所以，，                          9分．
因為點為線段中點，所以點到平面的距離為  10分．
解法3：因為點為線段的中點，所以點到平面的距離等于點到平面的距離的．  6分 由已知條件可得，由（I）知,又，
所以平面，                             8分
所以點到平面的距離等于線段的長．       9分
因為，所以點到平面的距離等于．  10分
（3）假設(shè)在線段上存在點，使得與平面所成角為  11分．
設(shè),，，則，所以，．                              12分 
又平面的一個法向量為，且直線與平面所成的角為，
所以， 即，
可得， 解得或（舍去）．   13分
綜上所述，在線段上是否存在點，使得與平面所成角為，
此時．      14分．