Question

設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；
（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；
（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）2；（2）當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；（3）.

試題分析：（1）當(dāng)時，，易得函數(shù)的定義域為，求出導(dǎo)函數(shù)，利用判定函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并求出的極小值；
（2）由函數(shù)，令，得，
設(shè)，由求出函數(shù)的單調(diào)性以及極值，并且求出函數(shù)在的零點，畫出的大致圖像，并從圖像中，可以得知，當(dāng)在不同范圍的時候，函數(shù)和函數(shù)的交點個數(shù)
（3）對任意恒成立，等價于恒成立，則在上單調(diào)遞減，即在恒成立，
求出的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時，
易得函數(shù)的定義域為

當(dāng)時，，此時在上是減函數(shù)；
當(dāng)時，，此時在上是增函數(shù)；
當(dāng)時，取得極小值
(2)函數(shù)
令，得
設(shè)

當(dāng)時，，此時在上式增函數(shù)；
當(dāng)時，，此時在上式增函數(shù)；
當(dāng)時，取極大值
令，即，解得，或
函數(shù)的圖像如圖所示：

由圖知：
當(dāng)時，函數(shù)和函數(shù)無交點；
②當(dāng)時，函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個交點；
③當(dāng)時，函數(shù)和函數(shù)有兩個交點；
④時，函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個交點；
綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或時，函數(shù)有且僅有一個零點；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.
對任意恒成立
等價于恒成立
設(shè)
在上單調(diào)遞減
在恒成立


當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)時，
的取值范圍是