Question

設(shè)a、b為常數(shù)，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一點(diǎn)（a，b）映射為函數(shù)acosx+bsinx．
（1）證明：對(duì)F不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù)；
（2）證明：當(dāng)f（x）∈M時(shí)，f₁（x）=f（x+t）∈M，這里t為常數(shù)；
（3）對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值f（x），得M₁={f（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下點(diǎn)（m，n）的象屬于M₁，問：由所有符合條件的點(diǎn)（m，n）構(gòu)成的圖形是什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，b），（c，d）對(duì)應(yīng)同一函數(shù)，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．特別令x=0，得a=c；令x=，得b=d．這與（a，b），（c，d）是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)同函數(shù)．
（2）當(dāng)f（x）∈M時(shí)，可得常數(shù)aa，b，使f（x）=acosx+bsinx，f₁（x）=f（x+t）=acos（x+t）+bsin（x+t）=（acost+bsint）+（bcost-asint）sinx．由此能夠證明f₁（x）=f（x+t）∈M．
（3）設(shè)f（x）∈M，由此得f（x+t）=mcosx+nsinx，在映射F下，f（x+t）的原象是（m，n），則M₁的原象是{（m，n）|m=acost+bsint，n=bcost-asint，t∈R}，消去t得m²+n²=a²+b²，由此能得到有符合條件的點(diǎn)（m，n）構(gòu)成的圖形是圓．
解答：解：（1）證明：假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，b），（c，d）對(duì)應(yīng)同一函數(shù)，
即F（a，b）=acosx+bsinx與F（c，d）=ccosx+dsinx相同，
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．
特別令x=0，得a=c；
令x=，得b=d．
這與（a，b），（c，d）是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，
假設(shè)不成立．
故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)同函數(shù)．
（2）當(dāng)f（x）∈M時(shí)，
可得常數(shù)aa，b，使f（x）=acosx+bsinx，
f₁（x）=f（x+t）=acos（x+t）+bsin（x+t）
=（acost+bsint）+（bcost-asint）sinx．
由于a，b，t為常數(shù)，
設(shè)acost+bsint=m，bcost-asint=n，
則m，n是常數(shù)．
從而f₁（x）=f（x+t）∈M．
（3）設(shè)f（x）∈M，
由此得f（x+t）=mcosx+nsinx，
（其中m=acost+bsint，n=bcost-asint）
在映射F下，f（x+t）的原象是（m，n），
則M₁的原象是
{（m，n）|m=acost+bsint，n=bcost-asint，t∈R}，
消去t得m²+n²=a²+b²，
即在映射F下，M₁的原象{（m，n）|m²+n²=a²+b²}是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．
點(diǎn)評(píng)：本題考查映射的概念，難度較大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．