Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，側(cè)面為等邊三角形.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)與正三角形的性質(zhì)可證，，得平面，進(jìn)而；（2）分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量 ，而知是平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦，進(jìn)而求得正弦值.

試題解析：（1）取的中點，連接，則四邊形為矩形，

∴，

∵為等邊三角形，

∴.

∵，

∴平面.

平面，.

（2）由（1）知，，過作平面，則兩兩垂直，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

∵，

∴，∴平面，

∴，，

設(shè)平面的法向量為.

∵，，

∴，

∴，取，則，

設(shè)二面角為，則，

∴二面角的正弦值.