Question

【題目】已知四邊形為等腰梯形，∥，沿對(duì)角線將旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)至點(diǎn)的位置，此時(shí)滿足.

（1）證明；

（2）求二面角平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1）先由余弦定理的計(jì)算得到 ,

折疊后，又，故面，根據(jù)折疊后不變的一些垂直關(guān)系證得面，進(jìn)而得到結(jié)論.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，求得平面的法向量與平面的法向量，計(jì)算再求得正弦即可.

解：（1） 證明：在等腰梯形中，由平面幾何知識(shí)易得，又，由余弦定理可得，則，故,

折疊后，又，故面，

而面，故.

（2）由（1）知面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

則，

設(shè)平面的法向量為，則即.

取則故

同理可求得平面的法向量

設(shè)二面角的平面角為，則，

結(jié)合圖形可知.