Question

做一個(gè)體積為32m³，高為2m的長(zhǎng)方體紙盒
（1）若用x表示長(zhǎng)方體底面一邊的長(zhǎng)，S表示長(zhǎng)方體的側(cè)面積，試寫(xiě)出S與x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，做一個(gè)這樣的長(zhǎng)方體紙盒用紙最少？

Answer 1

分析：（1）利用長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式算出底面積，從而求出底面的另一邊長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵，利用側(cè)面積的計(jì)算公式表述出S與x間的函數(shù)關(guān)系式，并注明該函數(shù)的定義域；
（2）將用紙最少轉(zhuǎn)化為求側(cè)面積的最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)工具確定該函數(shù)的最小值，注意函數(shù)單調(diào)性的說(shuō)明．

解答：解：（1）由題意知，該長(zhǎng)方體的底面積為

32

2

=16(m2)，故它的底面另一邊長(zhǎng)為

16

x

(m)
s=2(2x+

32

x

)=4(x+

16

x

) (x＞0)．
（2）要使用紙最少，即是使長(zhǎng)方體的表面積最小，也就是求S的最小值．
由于s′=4(1-

16

x2

)；，令S′=0，解得x₁=4，x₂=-4（舍去）．
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，S′＜0，即該函數(shù)在（0，4）單調(diào)遞減，；當(dāng)x＞4時(shí)，S′＞0，即該函數(shù)在（4，+∞）單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x=4時(shí)，S取最小值，即此時(shí)用紙最少．
答：當(dāng)x=4時(shí)，做一個(gè)這樣的長(zhǎng)方體紙盒用紙最少．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，考查函數(shù)的模型問(wèn)題，考查學(xué)生的函數(shù)模型意識(shí)解決相關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)構(gòu)建的函數(shù)模型選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠛瘮?shù)的最值問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)該優(yōu)化問(wèn)題的求解．考查學(xué)生規(guī)范解題的習(xí)慣．