Question

【題目】已知數(shù)列的前項和為，滿足，．?dāng)?shù)列滿足，，且．

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）若，數(shù)列的前項和為，對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，，使，，（）成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）不存在

【解析】試題分析：（1）根據(jù)和項與通項關(guān)系得遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列定義可得通項公式，先對條件變形得新數(shù)列為一個等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式得的通項公式；（2）先根據(jù)錯位相減法求出，化簡可得恒成立，再根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可得最小值為零，即得實數(shù)的取值范圍；（3）先根據(jù)條件化簡得，再利用奇偶分析法研究方程解的情況.

試題解析：（1）當(dāng)時，，所以．

當(dāng)時，，，

兩式相減得，

從而數(shù)列為首項，公比的等比數(shù)列，

從而數(shù)列的通項公式為．

由兩邊同除以，

得

從而數(shù)列為首項，公差的等差數(shù)列，所以，

從而數(shù)列的通項公式為．

（2）由（1）得，

于是，

所以

兩式相減得，

所以，

由（1）得，

因為對 ，都有，

即恒成立，

所以恒成立，

記，

所以，

因為 ，

從而數(shù)列為遞增數(shù)列，所以當(dāng)時取最小值，

于是．

（3）假設(shè)存在正整數(shù)（），使成等差數(shù)列，則，

即 ，

若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.

若為奇數(shù)，設(shè)，則，

于是，即，

當(dāng)時，，此時與矛盾；

當(dāng)時，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，顯然不成立.

綜上所述，滿足條件的實數(shù)對不存在．