Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）給函數(shù)求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)帶入原函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，分別求出切點(diǎn)和斜率，用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.

（2）當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，存在，使得，函數(shù)在處取得極小值，則，又，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上可得，函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

（1），則，

，.

因此，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.

（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；

又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

，構(gòu)造函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，

由零點(diǎn)存在定理知，存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極小值，則，

又，所以，

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可得，函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).