Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為:（為參數(shù)）， 以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線，直線與曲線分別交于兩點(diǎn).

（1）寫出曲線和的普通方程；

（2）若成等比數(shù)列，求值.

Answer 1

【答案】 ，；（2）1.

【解析】

（1）利用互化公式即可將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；利用代入消元法消去參數(shù)，即可得到直線的普通方程；

（2）把直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義分別表示出 ，利用等比中項(xiàng)即可求出的值.

解：（1）∵，∴，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為：，

由 （為參數(shù)），消去參數(shù)，

得直線的普通方程為：.

（2）將直線的參數(shù)方程代入中，

得，

設(shè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，

則，，

成等比數(shù)列，則，

而，，

所以，即，

，

，解得：或，

又，.