Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是偶函數(shù)，求的值；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)是偶函數(shù)，可得，利用恒等，即可求出結(jié)果；

（2）當(dāng)時(shí)，有且只有一實(shí)根，可得，然后再利用換元法，設(shè)，，轉(zhuǎn)化為，有一實(shí)根，根據(jù)根的分布，即可求出結(jié)果；

（3）設(shè)，對分段函數(shù)的零點(diǎn)分析可得，即，，消除，整理可得，進(jìn)而可得，據(jù)此即可求證結(jié)果.

(1)是偶函數(shù)，所以，則.

所以.

(2)當(dāng)時(shí)，有且只有一實(shí)根，即，

設(shè)，則，

所以，有一實(shí)根，

∵恒成立，兩根之積小于0，所以，

∴.

(3)不妨設(shè)，則，

若，與矛盾，

若，與是單調(diào)函數(shù)矛盾，

所以；

所以①，②，

由①，得：，由②，得：；

聯(lián)立①、②消去得：，即，則.

因?yàn)?/span>，所以，即.