Question

已知命題：“?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命題，
（1）求實數m的取值集合M；
（2）設不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集為N，若x∈N是x∈M的必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由x²-x-m=0可得m=x²-x=(x-

1

2

)2-

1

4

結合-1＜x＜1及二次函數的性質可求集合M
（2）若x∈N是x∈M的必要條件，則M⊆N分類討論①當a＞2-a即a＞1時，N={x|2-a＜x＜a}，②當a＜2-a即a＜1時，N={x|a＜x＜2-a}，③當a=2-a即a=1時，N=φ三種情況進行求解

解答：解：（1）由x²-x-m=0可得m=x²-x=(x-

1

2

)2-

1

4

∵-1＜x＜1
∴-

1

4

≤m＜2
M={m|-

1

4

≤m＜2}
（2）若x∈N是x∈M的必要條件，則M⊆N
①當a＞2-a即a＞1時，N={x|2-a＜x＜a}，則

2-a＜- 1 4 a≥2 a＞1

即a＞

9

4

②當a＜2-a即a＜1時，N={x|a＜x＜2-a}，則

a＜1 a＜- 1 4 2-a≥2

即a＜-

1

4

③當a=2-a即a=1時，N=φ，此時不滿足條件
綜上可得a＞

9

4

或a＜-

1

4

點評：本題主要考查了二次函數在閉區(qū)間上的值域的求解，集合之間包含關系的應用，體現了分類討論思想的應用．