Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面的菱形， ，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，AC和DE交于點(diǎn)O，PO ；

（1）求證： ；

（2） 求二面角P-AD-C的大小。

（3）在（2）的條件下，求異面直線PB與DE所成角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）二面角的大小為；（3）異面直線、所成角的余弦值為。

【解析】試題分析：

(1)由題意可證得，結(jié)合射影定理可證得；

(2)由題意找到二面角的平面角，結(jié)合三角函數(shù)值可得二面角的大小為.

(3)利用平移法結(jié)合余弦定理可得異面直線、所成角的余弦值為.

試題解析：

（1）在菱形中，連接則是等邊三角形。

點(diǎn)是邊的中點(diǎn)

平面

是斜線在底面內(nèi)的射影

（2）

菱形中,

又平面, 是在平面內(nèi)的射影

為二面角的平面角

在菱形中, ，由（1）知， 等邊三角形

點(diǎn)是邊的中點(diǎn)， 與互相平分

點(diǎn)是的重心

又在等邊三角形中，

所以在中，

二面角的大小為.

(3)取中點(diǎn)，連結(jié)，

則

與所成角與所成角

連結(jié)

平面, 、平面

在中,

在中,

在中,

由（2）可知，

設(shè)與所成的角為

則

所以異面直線、所成角的余弦值為