Question

設(shè)△ABC的BC邊上的高AD=BC，a，b，c分別表示角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊，則

b

c

+

c

b

的取值范圍是

[2，

5

]

．

Answer 1

分析：利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積為

1

2

bcsinA，由已知高AD=BC=a，利用底與高乘積的一半表示三角形ABC的面積，兩者相等表示出sinA，然后再利用余弦定理表示出cosA，變形后，將表示出的sinA代入，得到

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA，左邊利用基本不等式求出最小值，右邊利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求出右邊式子的最大值，即為

b

c

+

c

b

的最大值，即可得到

b

c

+

c

b

的范圍．

解答：解：∵BC邊上的高AD=BC=a，
∴S_△ABC=

1

2

a2=

1

2

bcsinA，
∴sinA=

a2

bc

，又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

(

b

c

+

c

b

-

a2

bc

)，
∴

b

c

+

c

b

=2cosA+sinA=

5

（

2 5

5

cosA+

5

5

sinA）=

5

sin（α+A）≤

5

，
（其中sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

）又

b

c

+

c

b

≥2，
∴

b

c

+

c

b

∈[2，

5

]．
故答案為：[2，

5

]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及基本不等式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．