Question

已知橢圓的離心率為，過(guò)頂點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)在橢圓上且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的斜率的值.

Answer 1

(1);（2）.

解析試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線(xiàn)和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論.
試題解析：(Ⅰ)因?yàn)閑=,b=1,所以a=2,
故橢圓方程為. 4分
(Ⅱ)設(shè)l的方程為y=kx+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M(m,n).
聯(lián)立，解得  (1+4k²)x²+8kx="0,"                 7分
因?yàn)橹本�(xiàn)l與橢圓C相交于兩點(diǎn)，所以△=(8k)²>0,所以x₁+x₂=，x₁×x₂=0，
∵        ∴
點(diǎn)M在橢圓上，則m²+4n²=4,∴,化簡(jiǎn)得   
x₁x₂+4y₁y₂= x₁x₂+4(kx₁+1)(kx₂+1)= (1+4k²)x₁x₂+4k(x₁+x₂)+4=0,       10分
∴4k·()+4=0,解得k=±.故直線(xiàn)l的斜率k=±.       12分
考點(diǎn)：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)與橢圓相交的綜合問(wèn)題.