Question

【題目】已知正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為．現(xiàn)從該棱錐的個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.

（1）求概率的值；

（2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】(1) .

(2)分布列見(jiàn)解析，.

【解析】分析：（1）從個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，共有種取法，其中面積的三角形有個(gè)，由古典概型概率公式可得結(jié)果；(2)的可能取值，根據(jù)古典概型概率公式可求得隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用期望公式可得其數(shù)學(xué)期望．

詳解：（1）從個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，

共有種取法，其中的三角形如，

這類(lèi)三角形共有個(gè)

因此.

（2）由題意，的可能取值為

其中的三角形如，這類(lèi)三角形共有個(gè)；

其中的三角形有兩類(lèi)，，如（個(gè)），（個(gè)），共有個(gè)；

其中的三角形如，這類(lèi)三角形共有個(gè)；

其中的三角形如，這類(lèi)三角形共有個(gè)；

其中的三角形如，這類(lèi)三角形共有個(gè)；

因此

所以隨機(jī)變量的概率分布列為：

所求數(shù)學(xué)期望

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