Question

如圖，四邊形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，其余部分都是平地，P是弧TS上一點(diǎn)，現(xiàn)有一位開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)兩邊落在BC與CD上的長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR，求長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值．

Answer 1

分析：求停車場(chǎng)面積，需建立長(zhǎng)方形的面積函數(shù)．這里自變量的選取十分關(guān)鍵，通常有代數(shù)和三角兩種設(shè)未知數(shù)的方法如果設(shè)長(zhǎng)方形PQCR的一邊長(zhǎng)為x（不妨設(shè)PR=x），則另一邊長(zhǎng)PQ=100-

902-(100-x)2

，這樣S_PQCR=PQ•PR=x•（100-

902-(100-x)2

），但該函數(shù)的最值不易求得，如果將∠BAP作為自變量，用它可表示PQ、PR，再建立面積函數(shù)，則問題就容易得多．

解答：解：延長(zhǎng)RP交AB于M，設(shè)∠PAB=α（0°＜α＜90°），則
AM=90cosα，MP=90sinα，PQ=100-90cosα，PR=100-90sinα．
∴S_PQCR=PQ•PR=（100-90cosα）（100-90sinα）
=10000-9000（cosα+sinα）+8100cosαsinα．
設(shè)t=cosα+sinα，
∵0°≤α≤90°
∴t∈(1，

2

]，cosαsinα=

t2-1

2

．
∴SPQCR=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=4050(t-

10

9

)2+950．
∴當(dāng)t=

2

時(shí)，S_PQCR有最大值14050-9000

2

．
答：長(zhǎng)方形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值為14050-9000

2

平方米．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關(guān)鍵是自變量的選取，利用配方法求函數(shù)的最值．