Question

【題目】設(shè)是定義在R上的函數(shù),對任意的,恒有，且當(dāng)時, .

(1)求的值;

(2)求證:對任意,恒有.

(3)求證:在R上是減函數(shù).

Answer 1

【答案】（1）;

（2）證明見解析；

（3）證明見解析；

【解析】

(1)應(yīng)用取特殊值法.令,根據(jù)當(dāng)時,,可以求出的值;

(2)當(dāng)時,應(yīng)用,再根據(jù)當(dāng)時,,可以證明此時

,再結(jié)合(1)的結(jié)論,可以證明對任意,恒有.

(3)運用定義法證明在R上是減函數(shù).在證明過程中結(jié)合(2)中的結(jié)論,和已知當(dāng)時,,這一條件.

(1) 令,有,當(dāng)時,,所以有,于是有

；

(2)當(dāng)時,有,因為,所以,已知當(dāng)時,,所以,由(1)可知,所以有；

已知當(dāng)時,；

由(1)可知,故對任意,恒有；

(3)設(shè)且,所以有,而已知當(dāng)時,,因此有

,而,由(2)的證明過程可知：,

于是由可得,所以有,根據(jù)(2)的性質(zhì)可知：,所以有,因此在R上是減函數(shù).