Question

已知橢圓的中心為O，長(zhǎng)軸、短軸的長(zhǎng)分別為2a,2b(a>b>0),A,B分別為橢圓上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AB交AB于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡。

Answer 1

點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓。

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸所在直線為x軸，短軸所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則橢圓的方程為。
以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為。
由于OA⊥OB，可設(shè)A(r₁,q₁),,則，
，
所以，
故。
因?yàn)镺M⊥AB,由等面積得|OM|·|AB|=|OA|·|OB|，
從而|OM|²·|AB|²=|OA|²·|OB|^2,，且|AB|²=|OA|²+|OB|^2,
即，所以,
故點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓。