Question

給出以下命題：
①命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的否命題為“若x＜2且y＜3，則x+y＜5”；
②若直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒(méi)有公共點(diǎn)，則點(diǎn)（a，b）一定在圓x²+y²=4外；
③“?x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命題，則1＜a＜9；
④某人向一個(gè)圓內(nèi)投鏢，則鏢扎到該圓的內(nèi)接正三角形區(qū)域內(nèi)的概率為

3 3

4π

．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①根據(jù)“p且q”的否定為“非p或非q”，可得命題①的正確與否；②因?yàn)橹本�ax+by=4與圓x²+y²=4沒(méi)有公共點(diǎn)，計(jì)算出圓心到直線的距離并且與半徑比較大小，進(jìn)而整理可得a²+b²＜4，所以點(diǎn)（a，b）一定在圓x²+y²=4內(nèi)； ③由題意可得不等式ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，即1＜a＜9；④設(shè)圓的半徑為r，內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為a，則a=

3

r，分別計(jì)算出三角形與圓的面積，再根據(jù)幾何概率模型可得④正確．

解答：解：對(duì)四個(gè)命題分別加以判別：
①命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的否命題為“若x＜2或y＜3，則x+y＜5”，故錯(cuò)誤；
②因?yàn)橹本�ax+by=4與圓x²+y²=4沒(méi)有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離 d=

4

a2+b2

＞2=r，
整理可得a²+b²＜4，所以點(diǎn)（a，b）一定在圓x²+y²=4內(nèi)，所以②錯(cuò)誤．
③因?yàn)椴坏仁絘x²+（a-3）x+1＞0恒成立，
所以“?x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命題，即1＜a＜9，所以③正確．
④設(shè)圓的半徑為r，內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為a，則a=

3

r，所以內(nèi)接正三角形的面積為

3 3 r2

4

，圓的面積為πr²，根據(jù)幾何概率模型可得所以鏢扎到該圓的內(nèi)接正三角形區(qū)域內(nèi)的概率為

3 3

4π

，所以④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，即解含絕對(duì)值的不等式，恒成立問(wèn)題，存在性命題與幾何概率模型等知識(shí)點(diǎn)．