【題目】在幾何體中,底面
為菱形,
,
與
相交于點(diǎn)
,四邊形
為直角梯形,
,面
面
.
(1)證明:面面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)由底面為菱形,可得
,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得
平面
,從而得到
,又
,得到
平面
,利用勾股定理證得
,由線面垂直的判定定理證得
平面
,利用面面垂直的判定定理證得平面
平面
;
(2)取EF中點(diǎn)G,由題意可知,,則
平面
,分別以O(shè)A,OB,OG所在直線為
軸建立空間直角坐標(biāo)系
,分別求出平面AFC與平面AEC的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
(1)因?yàn)榈酌?/span>為菱形,所以
,
又平面底面
,平面
平面
,
因此平面
,從而
.
又,所以
平面
,
由,
可知,
從而,故
,
又,所以
平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
(2)取中點(diǎn)
,由題可知
,所以
平面
,
又在菱形中,
,
分別以的方向?yàn)?/span>
軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系
(如圖示),
則.
所以,
,
.
由(1)可知平面
,所以平面
的法向量可取為
,
設(shè)平面的法向量為
,則
,
即,
即,
令,得
,所以
.
從而.由圖可知,所求二面角的大小為銳角,
故所求的二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形是矩形,
,將
沿著對(duì)角線AC翻折,得到
,設(shè)頂點(diǎn)
在平面
上的投影為O.
(1)若點(diǎn)O恰好落在邊AD上,①求證:平面
;②若
,
,當(dāng)BC取到最小值時(shí),求k的值;
(2)當(dāng)時(shí),若點(diǎn)O恰好落在
的內(nèi)部(不包括邊界),求二面角
的余弦值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若在區(qū)間
上不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)
的范圍;
(2)若對(duì)任意,都有
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)
,對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)
,曲線
上是否存在兩點(diǎn)
,
,使得
是以
(
為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,而且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,MD⊥ABCD,NB⊥ABCD.且MD=NB=1.則下列結(jié)論中:
①MC⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
所有假命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(x1,y1),D(x2,y2)其中(x1<x2)是曲線y2=9x(y≥0).上的兩點(diǎn),A,D兩點(diǎn)在x軸上的射影分別為點(diǎn)B,C且|BC|=3.
(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)時(shí),求直線AD的方程:
(Ⅱ)記△AOD的面積為S1,梯形ABCD的面積為S2,求的范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面四邊形中,
,
是
,
中點(diǎn),
,
,
,將
沿對(duì)角線
折起至
,使平面
平面
,則四面體
中,下列結(jié)論不正確的是( )
A. 平面
B. 異面直線與
所成的角為
C. 異面直線與
所成的角為
D. 直線與平面
所成的角為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,
,其中
是自然常數(shù),
.
(1)當(dāng)時(shí),求
的極值,并證明
恒成立;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使
的最小值為
?若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)高考實(shí)行新方案,規(guī)定:語(yǔ)文、數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目,考生還須從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目.若一名學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生選考方案待確定.某學(xué)校為了了解高一年級(jí)200名學(xué)生選考科目的意向,隨機(jī)選取20名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表:
性別 | 選考方案確定情況 | 物理 | 化學(xué) | 生物 | 歷史 | 地理 | 政治 |
男生 | 選考方案確定的有5人 | 5 | 5 | 2 | 1 | 2 | 0 |
選考方案待確定的有7人 | 6 | 4 | 3 | 2 | 4 | 2 | |
女生 | 選考方案確定的有6人 | 3 | 5 | 2 | 3 | 3 | 2 |
選考方案待確定的有2人 | 1 | 2 | 1 | 0 | 1 | 1 |
(1)在選考方案確定的男生中,同時(shí)選考物理、化學(xué)、生物的人數(shù)有多少?
(2)從選考方案確定的男生中任選2名,試求出這2名學(xué)生選考科目完全相同的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,△PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,.
(1)求四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD;
(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使得CM∥平面BDF?如果存在,求的值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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