Question

【題目】已知函數(shù)，已知函數(shù)在x=1處的切線方程為.

（1）求a的值；

（2）求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）1.（2）證明見解析

【解析】

(1)先對函數(shù)求導,然后結合導數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)要證原不等式成立,可考慮構造函數(shù),然后轉化為求解相應函數(shù)的范圍,結合導數(shù)及函數(shù)性質可求.

(1)f′(x)=ex﹣2ax,

由題意可知,f′（1）=e﹣2a=e﹣2,

所以a=1；

(2)證明：∵函數(shù)在x=1處的切線方程為y=(e﹣2)x+1.

故可猜想：當x>0且x≠1時,f(x)的圖象恒在切線y=(e﹣2)x+1的上方,

下證當x>0時,f(x)≥(e﹣2)x+1,

設g(x)=f(x)﹣(e﹣2)x+1,x>0,則g′(x)=ex﹣2x﹣e+2,g″(x)=ex﹣2,

∴g′(x)在(0,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增,

因為g′(0)=3﹣e,g′（1）=0,0<ln2<1,

所以g′(ln2)<0,

故存在x0∈(0,ln2)使得g′(x0)=0,

所以,當x∈(0,x0),(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,

當x∈(x0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,

又g(0)=g（1）=0,

所以g(x)=ex﹣x2﹣(e﹣2)x﹣1≥0,

則g(x)=ex +(2-e)x﹣1≥x2，由

所以

令h(x)=x﹣lnx﹣1,x>0

則,

易得x=1是函數(shù)h(x)的極小值點,

所以h(x)≥h（1）=0,

故x≥lnx+1

所以,當x=1時取等號,

即證.