【題目】如圖所示，四棱錐
中，
底面
，
，
，
，
，
，
為
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）見解析； （2）
.
【解析】
（1）在
中，由余弦定理可解得：
所以
，所以是直角三角形，
又
為等邊三角形，所以
，所以
，即可證明
平面
；
（2）：由（1）可知
，以點
為原點，以
,
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求直線
與平面
所成角的正弦值.
（1）證明：因為
，
，
，
所以
，
，
在中，
，，
，
由余弦定理可得：
解得：
所以，所以是直角三角形，
又
為
的中點，所以
又，所以
為等邊三角形，
所以，所以，
又
平面，
平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知，以點為原點，以,，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，
，
，
.
所以
，
，
.
設(shè)
為平面的法向量，則
，即
設(shè)
，則
，
，即平面的一個法向量為
，
所以
所以直線與平面所成角的正弦值為.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】黨的“十八大”之后，做好農(nóng)業(yè)農(nóng)村工作具有特殊重要的意義.國家為了更 好地服務(wù)于農(nóng)民、開展社會主義新農(nóng)村工作，派調(diào)查組到農(nóng)村某地區(qū)考察.該地區(qū)有100戶農(nóng) 民，且都從事蔬菜種植.據(jù)了解，平均每戶的年收入為6萬元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，當(dāng)?shù)卣疀Q 定動員部分農(nóng)民從事蔬菜加工.據(jù)統(tǒng)計，若動員
戶農(nóng)民從事蔬菜加工，則剩下的繼續(xù) 從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高
，而從事蔬菜加工的農(nóng)民平均每戶的年收入為
萬元.
（1）在動員
戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使剩下
戶從事蔬菜種植的所有農(nóng)民總年收 入不低于動員前100戶從事蔬菜種植的所有農(nóng)民年總年收入，求
的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這戶農(nóng)民從事蔬菜加工的總年收入始終不高于戶從事蔬菜種植的所有農(nóng)民年總年收入，求
的最大值.（參考數(shù)據(jù)：
)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知動圓
過定點
，并且內(nèi)切于定圓
.
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）若
上存在兩個點
，
，（1）中曲線上有兩個點
，
，并且，，
三點共線，，，三點共線，
，求四邊形
的面積的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，
,
是經(jīng)過小城
的東西方向與南北方向的兩條公路，小城
位于小城的東北方向，直線距離
.現(xiàn)規(guī)劃經(jīng)過小城修建公路
(
,
分別在與上)，與,圍成三角形區(qū)域
.
(1)設(shè)
，
,求三角形區(qū)域周長的函數(shù)解析式
;
(2)現(xiàn)計劃開發(fā)周長最短的三角形區(qū)域，求該開發(fā)區(qū)域的面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（12分）已知函數(shù)
．
（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1,f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在
上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）設(shè)m，n為正實數(shù)，且m>n，求證： 
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在區(qū)間
上有最小值1，最大值9.
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)
，若不等式
在區(qū)間
上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)
），若函數(shù)
有三個零點，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某高校共有學(xué)生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)．
(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？
(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間超過4小時的概率．
(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)．
(1)求k的值；
(2)設(shè)g(x)＝log4
，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分14分）已知過原點的動直線
與圓
相交于不同的兩點
，
．
（1）求圓
的圓心坐標(biāo)；
（2）求線段
的中點
的軌跡
的方程；
（3）是否存在實數(shù)
，使得直線
與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
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