Question

【題目】已知定義域是R上的奇函數(shù)．

（1）求a；

（2）判斷在R上的單調(diào)性，并用定義法證明；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（4）設(shè)關(guān)于x方程有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）在R上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；

（3）；

（4）；

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，，求；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，，變形為，利用單調(diào)性的的定義域證明；（3）函數(shù)是奇函數(shù)，不等式變形為，根據(jù)（2）可知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，利用參變分離得恒成立，求的取值范圍；（4）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即：有零點(diǎn)，設(shè)，，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.

（1）因?yàn)?/span>是R上的奇函數(shù)，所以，即：，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以．

（2）

∴在R上單調(diào)遞增，以下證明：

對(duì)，且

由的單調(diào)遞增性知

又，，

∴

∴在R上單調(diào)遞增．

（3）由題意，對(duì)，

又

∴

又由（2）知：在R上單調(diào)遞增

∴

令，易知其最小值是-4．

∴，即

（4）由題意知：有零點(diǎn)

即：

在R上單調(diào)

∴

即：有零點(diǎn)

令：

有零點(diǎn)

即：函數(shù)與函數(shù)有交點(diǎn)

易知：有最小值

∴時(shí)，有零點(diǎn)．