Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，側(cè)面為菱形，，平面平面.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，利用空間向量法可計(jì)算出直線與平面所成角的正弦值；

（2）計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，以及平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

平面，所以平面.

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，.

在菱形中，因?yàn)?/span>，所以，所以.

因?yàn)槠矫?/span>的法向量為，

設(shè)直線與平面所成角為，則，，

即直線與平面所成角的正弦值為；

（2）由（1）可知，，所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)?/span>即

取，，，即.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>，，

因?yàn)?/span>，所以，取.

設(shè)二面角的平面角為，

則，

所以二面角的余弦值為.