Question

【題目】已知且，函數(shù).

（1）求的定義域及其零點(diǎn)；

（2）討論并用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 定義域為,函數(shù)的零點(diǎn)為-1;(2)見(jiàn)解析;(3) .

【解析】試題分析：（1）由題意知，解不等式可得定義域，可得解析式，易得零點(diǎn)；（2）設(shè)， 是內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且，可得，分類討論可得；（3）要滿足題意只需，易得，由二次函數(shù)分類討論可得，解關(guān)于的不等式可得．

試題解析：（1）由題意知， ， ，解得.

∴函數(shù)定義域為.

令，得，解得，故函數(shù)的零點(diǎn)為.

（2）設(shè)， 是內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且，則，

.

∵

∴，即

∴當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，故在上單調(diào)遞增.

（3）若對(duì)于任意，存在，使得成立，只需.

由（2）知當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，則.

①當(dāng)時(shí)， ， 成立；

②當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增， ，由，解得.

∴

③當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減， ，由，解得.

∴

綜上，滿足條件的的范圍是.