Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記.（1）（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)于都有

Answer 1

(1)；(2)不存在，見解析；（3）見解析.

試題分析：（1）根據(jù)題中給的a_n=5S_n+1，繼而可得a_n-1=5s_n-1+1，兩式子相減得，a_n-a_n-1=5a_n，因此,因而可得出a_n，b_n的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，算出的前n項(xiàng)和為R_n，再計(jì)算出是否存在正整數(shù)k;（3）根據(jù)b_n的通項(xiàng)公式，計(jì)算出c_n的通項(xiàng)公式，再比較T_n與的大小.
（1）當(dāng)時(shí)，,又,
,∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴，（2）不存在正整數(shù)，使得成立。證明：由（1）知


∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) ,∴
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)
∴
∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有,∴不存在正整數(shù)，使得成立;（3）由得
又， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，